Na configuração local do Outlook pode-se configurar se se pretende ficar com cópia dos mails enviados no computador local ou na pasta de enviados do servidor.
Se guardar a cópia na pasta de enviados do servidor poderá ver as mensagens a partir de outros pontos de acesso.
Se não conseguir ver a cópia dos mails enviados verique primeiro as suas configurações.
Para verificar se é uma questão a nível do alojamento pode experimentar enviar uma mensagem a nível do interface web. Habitualmente as mensagens enviadas a nível deste interface ficarão na pasta de enviados do servidor.